Exponentiell utveckling

Det finns många olika typer av funktioner som beskriver hur förlopp utvecklas. I det här inlägget går vi igenom exponentiell utveckling som har många praktiska tillämpningar.

Exempel på exponentiell utveckling

För att förstå hur en exponentialfunktion och exponentiell utvecklinge kan uppstå kan vi ta ett exempel.

Låt säga att antalet invånare i en medelstor svensk stad ökar med 5 % (d.v.s. förändringsfaktorn 1,05) per år från startåret 2002 då det fanns 30 000 invånare.

Hur ökar då egentligen invånarantalet i staden från och med år 2002? Låt oss ställa upp ett samband för detta för att försöka att se ett mönster. Här betecknar y antalet invånare och x antalet år efter år 2002

År 0: \( 30000 \cdot 1,05^0 \)
År 1: \( 30000 \cdot 1,05^1 \)
År 2: \( 30000 \cdot 1,05^2 \)

År x: \( 30000 \cdot 1,05^x \)

På slutraden här ser vi att vi har fått fram sambandet som är en exponentialfunktion som har basen 1,05 och den oberoende variabeln x i exponenten som betecknar tiden i antalet år från 2002.

Exponentialfunktioner är alltså sådana funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten och vi har så kallad exponentiell utveckling av folkmängden.

Vi kan också konstatera här att exponentialfunktionen är ett bra sätt att beskriva procentuella förändringar för alltifrån hur invånare ökar eller minskar, till djurpopulationers utveckling eller ekonomiska förlopp.

Låt oss därför ta ett exempel på hur exponentiell utveckling kan beskriva hur en summa pengar utvecklas på ett sparkonto med räntan 3,5 %. Vi har satt in 25 000 kronor på ett sparkonto med ovan nämnda ränta. Varje år ökar alltså denna summa med 3,5 %, dvs vi har förändringsfaktorn 1,035. Vi kan då sätta ställa upp sambandet:

\(y=25000 \cdot 1,035^x \)

där y är summan pengar och x är antalet år efter att pengarna har satts in. Om vi ritar ut grafen till denna funktion ser denna ut enligt följande:

exponentiell-utveckling

Här börjar vi alltså på startvärdet 25 000 kronor och sedan ökar summan pengar med 3,5 % per år. Eftersom summan ökar hela tiden så kommer även den årliga ökningen att bli större och större i summa pengar då det finns mer pengar på kontot.

Andra typer av utvecklingar

Det finns förstås även andra sätt än exponentiell utveckling som saker kan förändras på som linjär utveckling (ökar lika mycket hela tiden) eller ränta på ränta effekter där man även sätter in nya resurser regelbundet (geometriska talföljder). Det finns även utvecklingar, som exempelvis vid beräkningar av lån, där man behöver ta hänsyn till att pengar exempelvis betalas in (amorteras) samtidigt som summan som man är skyldig ökar. Då behöver man ta hänsyn till att pengarna man är skyldig ökar exponentiellt och samtidigt amorteras vilket gör att beräkningarna kompliceras.

Läs vidare

 

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *