Category Archives: Linjära ekvationssystem

Substitutionsmetoden för att lösa ekvationssystem

Ett område som är viktigt i kursen matematik 2 är att kunna lösa så kallade ekvationssystem. Tidigare har vi skrivit om hur detta görs grafiskt men det finns även algebraiska metoder. Här går vi igeno, den metod som kallas för substitutionsmetoden.

Idén med Substitutionsmetoden

Den metod som kallas för substitutionsmetoden går ut på att man löser ut en variabel i den ena ekvationen för att därefter sätta in det som har lösts ut i den andra ekvationen. På det viset så får man endast en okänd variabel i denna ekvation och man kan få fram det första svaret. Detta används sedan för att ta fram det andra svaret.

Ett exempel

Låt oss visa mer konkret hur detta fungerar med ett exempel.

Lös ekvationssystemet

\(\begin{cases} 4x+2y=8 \\ y+1=3x  \end{cases}\)

Här gör vi så att vi löser ut y i den andra ekvationen så att vi får

\( y=3x-1 \)

Nu bör vi så att vi byter ut y (substituerar) i den andra ekvationen mot 3x-1 så att vi endast har variabeln x kvar. Då får vi

\(
4x+2(3x-1)=8 \\
4x+6x-2=8 \\
10x=10 \\
x=1 \\
\)

Nu sätter vi in x=1 i den andra ekvationen och då får vi att

\(y=3*1-1=2 \)

Svaren blir då

\(\begin{cases} x=1 \\ y=2  \end{cases} \\\)

Att lösa ett linjärt ekvationssystem grafiskt

I det här inlägget skall vi titta lite på ett exempel där vi löser ett linjärt ekvationssystem grafiskt. Själva idén med ekvationssystem är att man har två eller flera linjära ekvationer där man har minst två okända variabler. Sedan vill man förstås hitta dessa bägge variabler och därmed lösningen på det linjära ekvationssystemet.

Ett exempel

Så vi tar ett exempel på ett linjärt ekvationssystem som vi löser grafiskt. Lös

ekvationssystem

Här har vi alltså ett linjärt ekvationssystem där vi har de två okända variablerna x och y. När man löser ett sådant här ekvationssystem är det viktigt att förstå att bägge ekvationerna var för sig är en rät linje och om man ritar ut dem i ett grafprogram eller med sin grafritande räknare så hittar vi lösningen där linjerna skär varandra.

Men för att kunna rita ut dem behöver vi först skriva om ekvationerna på formen räta linjens ekvation som är y = kx + m, där k är lutning och m är y värdet där linjen skär y axeln.

  • Den översta ekvationen behöver vi inte skriva om. Den är ju y = 3x + 1
  • Den nedersta ekvationen kan vi skriva om som y = -x – 2

Nu kan vi rita ut de bägge linjerna och se var de skär varandra, då har vi lösningen!

ekvationssystem-grafiskt
Här har vi alltså lösningen där x = -0,75 och y = -1,25.