Exponentiell utveckling

Det finns många olika typer av funktioner som beskriver hur förlopp utvecklas. I det här inlägget går vi igenom exponentiell utveckling som har många praktiska tillämpningar.

Exempel på exponentiell utveckling

För att förstå hur en exponentialfunktion och exponentiell utvecklinge kan uppstå kan vi ta ett exempel.

Låt säga att antalet invånare i en medelstor svensk stad ökar med 5 % (d.v.s. förändringsfaktorn 1,05) per år från startåret 2002 då det fanns 30 000 invånare.

Hur ökar då egentligen invånarantalet i staden från och med år 2002? Låt oss ställa upp ett samband för detta för att försöka att se ett mönster. Här betecknar y antalet invånare och x antalet år efter år 2002

År 0: \( 30000 \cdot 1,05^0 \)
År 1: \( 30000 \cdot 1,05^1 \)
År 2: \( 30000 \cdot 1,05^2 \)

År x: \( 30000 \cdot 1,05^x \)

På slutraden här ser vi att vi har fått fram sambandet som är en exponentialfunktion som har basen 1,05 och den oberoende variabeln x i exponenten som betecknar tiden i antalet år från 2002.

Exponentialfunktioner är alltså sådana funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten och vi har så kallad exponentiell utveckling av folkmängden.

Vi kan också konstatera här att exponentialfunktionen är ett bra sätt att beskriva procentuella förändringar för alltifrån hur invånare ökar eller minskar, till djurpopulationers utveckling eller ekonomiska förlopp.

Låt oss därför ta ett exempel på hur exponentiell utveckling kan beskriva hur en summa pengar utvecklas på ett sparkonto med räntan 3,5 %. Vi har satt in 25 000 kronor på ett sparkonto med ovan nämnda ränta. Varje år ökar alltså denna summa med 3,5 %, dvs vi har förändringsfaktorn 1,035. Vi kan då sätta ställa upp sambandet:

\(y=25000 \cdot 1,035^x \)

där y är summan pengar och x är antalet år efter att pengarna har satts in. Om vi ritar ut grafen till denna funktion ser denna ut enligt följande:

exponentiell-utveckling

Här börjar vi alltså på startvärdet 25 000 kronor och sedan ökar summan pengar med 3,5 % per år. Eftersom summan ökar hela tiden så kommer även den årliga ökningen att bli större och större i summa pengar då det finns mer pengar på kontot.

Andra typer av utvecklingar

Det finns förstås även andra sätt än exponentiell utveckling som saker kan förändras på som linjär utveckling (ökar lika mycket hela tiden) eller ränta på ränta effekter där man även sätter in nya resurser regelbundet (geometriska talföljder). Det finns även utvecklingar, som exempelvis vid beräkningar av lån, där man behöver ta hänsyn till att pengar exempelvis betalas in (amorteras) samtidigt som summan som man är skyldig ökar. Då behöver man ta hänsyn till att pengarna man är skyldig ökar exponentiellt och samtidigt amorteras vilket gör att beräkningarna kompliceras.

Läs vidare

 

Substitutionsmetoden för att lösa ekvationssystem

Ett område som är viktigt i kursen matematik 2 är att kunna lösa så kallade ekvationssystem. Tidigare har vi skrivit om hur detta görs grafiskt men det finns även algebraiska metoder. Här går vi igeno, den metod som kallas för substitutionsmetoden.

Idén med Substitutionsmetoden

Den metod som kallas för substitutionsmetoden går ut på att man löser ut en variabel i den ena ekvationen för att därefter sätta in det som har lösts ut i den andra ekvationen. På det viset så får man endast en okänd variabel i denna ekvation och man kan få fram det första svaret. Detta används sedan för att ta fram det andra svaret.

Ett exempel

Låt oss visa mer konkret hur detta fungerar med ett exempel.

Lös ekvationssystemet

\(\begin{cases} 4x+2y=8 \\ y+1=3x  \end{cases}\)

Här gör vi så att vi löser ut y i den andra ekvationen så att vi får

\( y=3x-1 \)

Nu bör vi så att vi byter ut y (substituerar) i den andra ekvationen mot 3x-1 så att vi endast har variabeln x kvar. Då får vi

\(
4x+2(3x-1)=8 \\
4x+6x-2=8 \\
10x=10 \\
x=1 \\
\)

Nu sätter vi in x=1 i den andra ekvationen och då får vi att

\(y=3*1-1=2 \)

Svaren blir då

\(\begin{cases} x=1 \\ y=2  \end{cases} \\\)

Matte 2 och Matte B – Lite likheter och skillnader

Matte 2C är den första av Matematik 2A,B och C som går av stapeln ute på gymnasieskolor i Sverige. Denna kurs läser elever med natur eller teknikinriktning på sina program. Här jämför vi kortfattat denna kurs med den gamla kursen matematik B.

Framförallt fördjupad funktionslära och fördjupad Algebra

Den största skillnaden är egentligen att Matte2C är fördjupad och mer innehållsrik än vad Matte B var. Kursen är ju dessutom på 100 poäng (Matte B var 50 poäng). Den här kursen innehåller alltså mer om funktioner och algebra, bland annat:

  • Exponentialfunktioner, Exponentialekvationer och Logaritmer.
  • Potensfunktioner och potensekvationer.
  • Linjära ekvationssystem med 3 okända variabler
  • Andragradsekvationer med komplexa rötter.

Alla dessa områden här ovanför fanns alltså inte i Matematik B. Dessutom är det en rejäl fördjupning av statistiken inom kursen med nya områden som standardavvikelse, regressionsanalys och normalfördelning.

Normalfördelningskurvan

I Matematik 2C så går man igenom väldigt mycket mer begrepp och fördjupning om Statistik än vad man gjorde i motsvarande kurs Matte B. Ett av dessa begrepp är den så kallade klockkurvan som visar egenskaperna hos normalfördelade statiska undersökningar. Här är den kurvan:

(källa: Wikipedia)

Det är väldigt intressant att det här sambandet finns och att just dessa intervall återkommer i så många olika händelser.

Formler och tecken i figuren

Om du undrar vad de olika tecknen i bilden egentligen betyder så kommer här lite förklaring av detta:

  • μ – Medelvärde, uttalas ”my” och är en grekisk bokstav.
  • σ – Standardavvikelse, uttalas ”sigma” och är förstås även detta en grekisk bokstav.

Det är alltså så att när man har normalfördelad statistik, som tex när man undersöker blodtryck hos människor inom en viss ålder, så fördelas resultatet enligt bilden ovan.

 

Nu börjar Matematik 2C

Nu är det dags för alla gymnasieskolor att köra igång vårterminen 2012 och nu kommer de första kurserna i Matematik 2C att gå av stapeln. Det är framförallt Teknikprogrammet och Naturprogrammet som läser denna kurs och skolan väljer själv om de vill genomföra ett nationellt prov i kursen.

Nyheter i Matte 2 mot Matematik B

Denna kurs kommer i mångt och mycket att likna matematik B med skillnaden att man bland annat har lagt in områdena linjära ekvationssystem med tre okända och en hel del mer kring exponentialekvationer och logaritmer. Så visst liknar Matte 2 matte b med mycket algebra, andragradsekvationer och linjära funktioner.

Men här kommer man ha möjlighet att fördjupa sig en hel del mer kring väldigt viktiga begrepp

 

Att lösa ett linjärt ekvationssystem grafiskt

I det här inlägget skall vi titta lite på ett exempel där vi löser ett linjärt ekvationssystem grafiskt. Själva idén med ekvationssystem är att man har två eller flera linjära ekvationer där man har minst två okända variabler. Sedan vill man förstås hitta dessa bägge variabler och därmed lösningen på det linjära ekvationssystemet.

Ett exempel

Så vi tar ett exempel på ett linjärt ekvationssystem som vi löser grafiskt. Lös

ekvationssystem

Här har vi alltså ett linjärt ekvationssystem där vi har de två okända variablerna x och y. När man löser ett sådant här ekvationssystem är det viktigt att förstå att bägge ekvationerna var för sig är en rät linje och om man ritar ut dem i ett grafprogram eller med sin grafritande räknare så hittar vi lösningen där linjerna skär varandra.

Men för att kunna rita ut dem behöver vi först skriva om ekvationerna på formen räta linjens ekvation som är y = kx + m, där k är lutning och m är y värdet där linjen skär y axeln.

  • Den översta ekvationen behöver vi inte skriva om. Den är ju y = 3x + 1
  • Den nedersta ekvationen kan vi skriva om som y = -x – 2

Nu kan vi rita ut de bägge linjerna och se var de skär varandra, då har vi lösningen!

ekvationssystem-grafiskt
Här har vi alltså lösningen där x = -0,75 och y = -1,25.

Budgetering för dig som läser Ma 1a, b

En rätt ny sak i Matematik 2 är det som kallas budgetering och beräkningar i kursen matematik 2. Frågan är egentligen vad som menas att man skall kunna inom dessa områden i kursen.

Budget – Privatekonomi och Företag

Budgetering kan ju göras på en rad olika vis. För en privatperson handlar budgetering framförallt om att kunna ställa upp inkomster och utgifter på ett rimligt vis och se till att utgifterna inte överskrider inkomsterna i alltför hög grad.

För ett företag är budgetering en aning mer komplicerad process. Här gäller det inte bara att ha koll på inkomster och utgifter utan även hur man skall hantera vinst, skatter, bokföring och uttag av lön. Så vad skall man då kunna i matematik 2 från allt detta?

Budgetering och matematiska beräkningar

Eftersom i princip inga läromedel till kursen och definitivt inga nationella prov har genomförts ännu så är det ganska svårt att avgöra vad som skall ingå i detta. Några exempel på vad som skulle kunna ingå är:

  • Beräkna inkomster och utgifter på ett rimligt vis.
  • Första moms fram och baklänges
  • Kunna förstå exponentiella utvecklingar
  • Potensekvationer
  • Exponentialekvationer.

Man får helt enkelt fortsätta att fundera vidare på vad som skulle kunna bakas in i den här delen i väntan på bättre ledning från skolverket.

Den analytiska geometrin i Matematik 2

Den så kallade analytiska geometrin är nära kopplad till koordinatsystem, algebra och räta linjens ekvation i kursen Matematik 2. Det handlar alltså mycket att kunna jobba med punkter i planet och hur dessa beskrivs med hjälp av koordinater.

Ett exempel på analytisk geometri

Ett exempel på analytisk geometri kan vara följande. Låt säga att vi har två punkter i ett koordinatsystem och en linje genom dessa punkter enligt bilden här nedan. Beräkna linjens ekvation:

Så här löser vi detta:

  1. Först läser vi av punkternas koordinater och får då punkterna A = (2, 3) och B = (4, 5).
  2. Sedan läser vi av var linjen skär y – axeln och det gör den i y = 1.
  3. För att bestämma linjens lutning beräknar vi (5-3)/(4-2) = 2/2=1.
  4. Med detta vet vi nu m värdet 1 och k värdet (lutningen) 1.
  5. Alltså har vi den räta linjens ekvation som är y = x + 1

Faktasamlande om Kursen Matematik 2

Här kommer vi att samla kortfattad information, fakta och struktur kring den kommande kursen Matematik 2. Ännu har nästan inga böcker tryckts och inga kurser har hållits. Det enda som idag finns är en kursplan där skolverket har dragit upp mål och betygskriterier för denna kurs.

Det är även så att det egentligen inte finns EN kurs Matematik 2 utan det finns tre olika varianter på denna kurs. Matematik 2a, 2b och 2c. Alla är anpassade för att passa på olika program på gymnasieskolan.

Det första målet med den här webbplatsen blir att definiera innehållet i respektive kurs. Sedan skall vi försöka fånga in varje kurs essens för att slutligen även kolla in lite läromedel och hjälpresurser för denna kurs.